במשך 80 שנה ניסו מתמטיקאים לפתור בעיה שנשמעת על פניו פשוטה. "בעיית מרחק היחידה". היא נוצרה ב-1946 על ידי המתמטיקאי היהודי-הונגרי פאול ארדש, ומציגה את האתגר הבא: אם ניקח מספר מסוים של נקודות (שמבוטא על ידי המשתנה n) ונפזר אותן על דף חלק, מהו מספר הזוגות המקסימלי של נקודות שניתן להכניס במרחק של בדיוק 1 (למשל, סנטימטר אחד) זו מזו?
"מדובר ככל הנראה בבעיה המוכרת והקלה ביותר להסבר בגאומטריה קומבינטורית", מסביר פרופ' נוגה אלון, מתמטיקאי בעל שם עולמי ומרצה באוניברסיטת פרינסטון, שזכה בפרס ישראל ב-2008. עד כה ההנחה הרווחת בקרב מומחי המתמטיקה הגדולים בעולם הייתה שהדרך היעילה ביותר לסידור הנקודות, היא רשת ריבועים (בדומה לדף משבצות). הם היו בטוחים שהשיטה מאפשרת את המקסימום האפשרי של הצבת נקודות - עד שהוכח שטעו.
אף מתמטיקאי לא ציפה לזה
מודל פנימי של חברת OpenAI (דווקא מודל רגיל, ולא אחד מהמודלים המתמטיים המתקדמים) הצליח למצוא שיטה שונה לחלוטין ומוצלחת הרבה יותר, שהציגה שיפור משמעותי במספר הנקודות המקסימלי כפי שנתפס עד כה. השיטה נבדקה על ידי מתמטיקאים בכירים - בהם טים גוורס, זוכה מדליית פילדס, שנחשבת ל"נובל" של המתמטיקה - ונמצאה כנכונה. מאמר בנושא שנכתב על ידי המתמטיקאים שבחנו את השיטה, כבר פורסם.
במשך שנים, מתמטיקאים ניסו לפתור את הבעיה באמצעות מערכת מספרים שנקראת "שלמי גאוס" (Gaussian integers) – מספרים שמשלבים מספרים רגילים עם השורש הריבועי של 1.
ה-AI החליט לנטוש את הדרך הזו והשתמש במערכות מספרים מורכבות בהרבה מתורת המספרים האלגברית (שדות מספרים אלגבריים), שכוללות סימטריות עשירות בהרבה. הוא השתמש בכלים מתמטיים מתקדמים וכבדים במיוחד (כמו Infinite class field towers ו-Golod–Shafarevich theory). אף מתמטיקאי לא ציפה שלכלים המופשטים האלה מתורת המספרים תהיה בכלל השלכה על שאלה גיאומטרית פשוטה במישור.
ה-AI חיבר בין שני עולמות ידע נפרדים
בניגוד למקרים קודמים, בהם כלי AI פתרו בעיות שנחשבו שוליות, מדובר בפעם הראשונה אי פעם שבינה מלאכותית מצליחה לפתור באופן עצמאי בעיה מתמטית מרכזית, שגדולי התחום לא הצליחו לייצר בה פריצה דרך. ההישג לא נעשה באמצעות ניסוי וטעייה, אלא על ידי העלאת רעיונות מתוחכמים ובלתי צפויים מתחום מתמטי אחר, תורת המספרים האלגברית. במילים אחרות: ה-AI חיבר בין שני עולמות ידע שאף מתמטיקאי לא חשב לחבר לפניו.
העובדה שהמודל שאחראי לפתרון לא אומן על בעיות מתמטיות בכלל, ובוודאי לא על הבעיה של ארדש בפרט, מוכיחה שיכולת החשיבה ה"עמוקה" של המודלים החדשים מאפשרת לפתור בעיות סבוכות במגוון רחב של תחומים. הציפייה היא שבעתיד הקרוב נוכל לראות פריצות דרך דומות גם בתחומי הפיזיקה, הקריפטוגרפיה, הרפואה ועוד.
"זוהי אבן דרך במתמטיקה", כתב גוורס במאמר, "לדעתי זוהי הוכחה לכך שמודלי AI יכולים להפוך ליותר מעוזרים של מתמטיקאים אנושיים - הם מסוגלים לייצר רעיונות מקוריים וחדשניים, ולהביא אותם לכדי מימוש מלא".
טעינו? נתקן! אם מצאתם טעות בכתבה, נשמח שתשתפו אותנו